[题目]如图.在平面直角坐标系中.椭圆:过点.且椭圆的离心率为.直线:与椭圆相交于.两点.线段的中垂线交椭圆于.两点.(1)求椭圆的标准方程,(2)求线段长的最大值,(3)求的值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，在平面直角坐标系中，椭圆：过点，且椭圆的离心率为，直线：与椭圆相交于、两点，线段的中垂线交椭圆于、两点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求线段长的最大值；

（3）求的值.

【答案】（1）（2）（3）0

【解析】

（1）由离心率，解得，再将点代入椭圆方程，可得，解出、即可求解.

（2）设，，，，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求出的中点，求出直线的方程为，将其与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求解.

（3）利用向量数量积的坐标运算，结合（2），利用韦达定理即可求解.

解：（1）设椭圆的焦距为，

则，可知.

又因为椭圆过点，所以，

解得，，所以椭圆的标准方程为.

（2）设，，，，

由得，

又直线：与椭圆相交于，两点，

所以，且，则.

设的中点，则，，

所以的中垂线的方程为，即直线的方程为，

由得，则，

所以

，

又，所以当时，.

（3）由（2）知，

，

由（2）知，

所以

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实施项目	种植业	养殖业	工厂就业
参加占户比	45％	45％	10％
脱贫率	96％	96％	90％

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A.B.C.D.

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