Question

【题目】已知都是定义域为的连续函数．已知：满足：①当时，恒成立；②都有．满足：①都有；②当时，．若关于的不等式对恒成立，则的取值范围是

A. B.

C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据条件可得函数g（x）的奇偶性和单调性，利用条件可得函数f（x）的周期性，将不等式进行转化为求函数最值恒成立即可得到结论．

∵函数g（x）满足：当x＞0时，g'（x）＞0恒成立且对任意x∈R都有g（x）=g（﹣x），

∴函数g（x）为R上的偶函数且在[0，+∞）上为单调递增函数，且有g|（x|）=g（x），

∴g[f（x）]≤g（a2﹣a+2），x∈恒成立|f（x）|≤|a2﹣a+2|恒成立，只要使得定义域内|f（x）|max≤|a2﹣a+2|min，

由f（x+）=f（x﹣），得f（x+2）=f（x），

即函数f（x）的周期T=2，

∵x∈[﹣，]时，f（x）=x3﹣3x，

求导得：f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），该函数过点（﹣，0），（0，0），（，0），

且函数在x=﹣1处取得极大值f（﹣1）=2，

在x=1处取得极小值f（1）=﹣2，

即函数f（x）在R上的最大值为2，

∵x∈，函数的周期是2，

∴当x∈时，函数f（x）的最大值为2，

由2≤|a2﹣a+2|，即2≤a2﹣a+2，

则a2﹣a≥0，

解得：a≥1或a≤0．

故答案为：D