Question

如图6，已知动圆M过定点F（1,0）且与x轴相切，点F 关于圆心M 的对称点为 F'，动点F’的轨迹为C．

（1）求曲线C的方程；

（2）设是曲线C上的一个定点，过点A任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线C相交于另外两点P 、Q．

①证明：直线PQ的斜率为定值；

②记曲线C位于P 、Q两点之间的那一段为l．若点B在l上，且点B到直线PQ的

距离最大，求点B的坐标．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）见解析.

【解析】第一问中利用直线育园的位置关系可知得到曲线C的轨迹方程

第二问中，（法1）由题意，直线AP的斜率存在且不为零，如图6－2．

设直线AP的斜率为k（），则直线AQ的斜率为-k．  ………………6分

因为是曲线C：上的点，

所以，直线AP的方程为．

由与联立，

解之得，

所以点P的坐标为(,)，

以-k替换k，得点Q的坐标为(,)

所以直线PQ的斜率为定值

再就是由①可知，，，

，所以直线QP的方程为，

整理得得到B的坐标。

解：（1）（法1）设，因为点在圆M上，

且点F关于圆心M的对称点为F’，

所以，               …………1分

且圆M的直径为．…………2分

由题意，动圆M与y轴相切，

所以，两边平方整理得：，

所以曲线C的方程为．             ………………………………5分

（法2）因为动圆M过定点且与x轴相切，所以动圆M在x轴上方，

连结FF’，因为点F关于圆心M的对称点为F’，所以FF’为圆M的直径．

过点M作轴，垂足为N，过点F’作轴，垂足为E（如图6－1）．

在直角梯形EOFF’中，，

即动点F’到定点的距离比到轴的距离大1． ……………………………3分

又动点F’于轴的上方（包括轴上），

所以动点F’到定点的距离与到定直线y=-1的距离相等．

故动点F’的轨迹是以点为焦点，以直线y=1为准线的抛物线．

所以曲线C的方程为．             ……………………………5分

（2）①（法1）由题意，直线AP的斜率存在且不为零，如图6－2．

设直线AP的斜率为k（），则直线AQ的斜率为-k．  ………………6分

因为是曲线C：上的点，

所以，直线AP的方程为．

由与联立，

解之得，

所以点P的坐标为(,)，

以-k替换k，得点Q的坐标为(,)，．       ………………8分

所以直线PQ的斜率为定值．………………10分

（法2）因为是曲线C：上的点，所以，

又点P、Q在曲线C：上，所以可设，，     …6分

而直线AP，AQ的倾斜角互补，

所以它们的斜率互为相反数，即，整理得．8分

所以直线pq的斜率为定值．   ………10分

②（法1）由①可知，，

，所以直线QP的方程为，

整理得．                   …………11分

设点在曲线段l上，因为P、Q两点的横坐标分别为和，

所以B点的横坐标X在和之间，

所以，从而．

点B到直线QP的距离d=． ………12分

当时，d的最大值为．

注意到，所以点在曲线段L上．

所以，点B的坐标是． …………………………………………14分

（法2）由①可知，，结合图6－3可知，

若点B在曲线段L上，且点B到直线PQ的距离最大，

则曲线C在点B处的切线L//QP．   ………………11分

设L：，由方程组

与，联立可得

消去y，得．

令△=0，整理，得．……12分

代入方程组，解得，．

所以，点B的坐标是． ……………………………………………14分

（法3）因为抛物线C：关于y轴对称，

由图6－4可知，当直线AP的倾斜角大于00且趋近于00时，直线AQ的倾斜角小于1800且趋近于1800，即当直线AP的斜率大于0且趋近于0时，直线AQ的斜率小于0且趋近于0．

从而P、Q两点趋近于点关于轴的对称点． ……11分

由抛物线C的方程和①的结论，

得，．

所以抛物线C以点为切点的切线L//PQ．

……………………12分

所以曲线段L上到直线QP的距离最大的点就是点A’，

即点B、点A’重合．

所以，点B的坐标是． ……………14分