分析 (1)以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线AC与BD1所成的角的大小.
(2)求出平面ABB1A1的法向量,利用向量法能求出直线AE与平面ABB1A1所成的角的大小.
解答 解:(1)以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,
设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2,
则A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),D1(0,0,2),
$\overrightarrow{AC}$=(-2,2,0),$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=(-2,-2,2),
$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{B{D}_{1}}$=4-4+0=0,
∴AC⊥$\overrightarrow{B{D}_{1}}$,
∴异面直线AC与BD1所成的角的大小为90○.
(2)E(0,0,1),$\overrightarrow{AE}$=(-2,0,1),
平面ABB1A1的法向量$\overrightarrow{n}$=(1,0,0),
设直线AE与平面ABB1A1所成的角为θ,
sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,
∴θ=arcsin$\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
∴直线AE与平面ABB1A1所成的角的大小为arcsin$\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
点评 本题考查线面角的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
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A. | 4cm3 | B. | 6cm3 | C. | $\frac{16}{3}c{m^3}$ | D. | $\frac{20}{3}c{m^3}$ |
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A. | 4 | B. | 1 | C. | 2 | D. | 3 |
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