Question

3．设函数f（x）=cos$\frac{π}{3}$x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2 015）+f（2 016）=0．

Answer 1

分析 函数f（x）=cos$\frac{π}{3}$x，可得T=6．利用其周期性即可得出．

解答 解：∵函数f（x）=cos$\frac{π}{3}$x，
∴$T=\frac{2π}{\frac{π}{3}}$=6．
则f（1）=$cos\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$，f（2）=$cos\frac{2π}{3}$=-$\frac{1}{2}$，f（3）=cosπ=-1，f（4）=$cos\frac{4π}{3}$=$-\frac{1}{2}$，f（5）=$cos\frac{5π}{3}$=$\frac{1}{2}$，f（6）=cos2π=1，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=0，
则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2 015）+f（2 016）=336×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）]=0．
故答案为：0．

点评 本题考查了三角函数与数列的周期性、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．