Question

已知函数f（x）=

2x-1

2x+1

．求证：对于任意不小于3的正整数n都有f（n）＞

n

n+1

成立．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：证明题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：要证f（n）＞

n

n+1

（n∈N^*且n≥3），只需证

2n-1

2n+1

＞

n

n+1

，即证1-

2

2n+1

＞1-

1

n+1

，也就是证明2ⁿ-1＞2n，利用数学归纳法证明2ⁿ-1＞2n（n∈N^*，且n≥3）．

解答： 证明：要证f（n）＞

n

n+1

（n∈N^*且n≥3），
只需证

2n-1

2n+1

＞

n

n+1

，即证1-

2

2n+1

＞1-

1

n+1

，也就是证明2ⁿ-1＞2n．
下面用数学归纳法来证明2ⁿ-1＞2n（n∈N^*，且n≥3）．
①当n=3时，左边=7，右边=6，左边＞右边，不等式成立．
②假设当n=k（k∈N^*，且k≥3）时不等式成立，即2^k-1＞2k，
则当n=k+1时，2^k+1-1=2•2^k-1=2（2^k-1）+1＞2•2k+1=2（k+1）+2k-1＞2（k+1），
故当n=k+1时，不等式也成立．
综上所述，当n∈N^*且n≥3时，2ⁿ-1＞2n成立．
所以f（n）＞

n

n+1

（n∈N^*且n≥3）成立．

点评：本题考查不等式的证明，考查数学归纳法，掌握数学归纳法是证明步骤是关键．