Question

设x、y为实数，集合A={（x，y）|y²-x-1=0}，B={（x，y）|16x²+8x-2y+5=0}，C={（x，y）|y=kx+b}，问是否存在自然数k，b使（A∪B）∩C=∅？

Answer 1

考点：集合关系中的参数取值问题,交、并、补集的混合运算

专题：集合

分析：将（A∪B）∩C转化为（A∩C）∪（B∩C）=φ，即有A∩C=φ且B∩C=φ．转化成对应的方程组无解的条件．

解答： 解：若（A∪B）∩C=∅，则（A∩C）∪（B∩C）=φ，即有A∩C=φ且B∩C=φ．
即方程组

y2-x-1=0 y=kx+b

 ①与

16x2+8x-2y+5=0 y=kx+b

 ②都无解，
由①得k²x²+（2kb-1）x+b²-1=0，
若k=0，则方程为x=1-b²，有解，不满足条件，
若k≠0，则判别式△=（2kb-1）²-4k²（b²-1）＜0，
即1-4kb+4k²＜0，
∴b＞

1+4k2

4k

，
∵k，b是自然数，∴b＞1，
由②得16x²+8x-2（kx+b）+5=0，
即16x²+（8-2k）x+5-2b=0，
判别式△=（8-2k）²-4×16（5-2b）＜0，
即k²-8k+32b-64＜0，
即b＜

-k2+8k+64

32

=

-(k-4)2+80

32

≤

80

32

=

5

2

，
∵b是自然数，
∴b=2，此时k=1，
故存在b=2，k=1使得使（A∪B）∩C=∅．

点评：本题考查集合间的基本关系及运算．方程解的情况判断．本题转化成对应的方程组无解的条件是关键．