Question

已知函数f(x)=4sinx•sin2(

π

4

+

x

2

)+cos2x．
（I）设ω＞0为常数，若y=f(ωx)在区间[-

π

2

，

2π

3

]上是增函数，求ω的取值范围
（II）若|f（x）-m|＜2成立的充分条件是

π

6

≤x≤

2π

3

，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）化简函数 f(x)=4sinxsin2(

π

4

+

x

2

)+cos2x，然后利用 [-

π

2

，

2π

3

]是函数增区间的子集，解答即可．
（2）先求|f（x）-m|＜2中的m的范围表达式，f（x）-2＜m＜f（x）+2，m大于f（x）-2的最大值，小于f（x）+2的最小值，即可．

解答：解：（I）f(x)=2sinx(1-cos(

π

2

+x))+cos2x=1+2sinx…3分
由题意，[-

π

2

，

2π

3

]⊆[-

π

2ω

，

π

2ω

]，
只须 

2π

3

≤

π

2ω

，⇒ω≤

3

4

，又ω＞0，
∴ω∈(0，

3

4

]，
得ω的取值范围(0，

3

4

]…6分
（II）由题意，当

π

6

≤x≤

2π

3

时，

1

2

≤sinx≤1，
2sinx-1＜m＜2sinx+3恒成立 …8分
可得（2sinx-1）_max＜m＜（2sinx+3）_min
当sinx=1时，（2sinx-1）_max=1；
当sinx=

1

2

时，（2sinx+3）_min=4；
∴1＜m＜4…10分．
∴实数m的取值范围1＜m＜4．

点评：本题考查正弦函数的定义域和值域，子集知识，不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想，是中档题．