Question

7．设数列{a_n}满足a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=$\frac{n}{3}$，a∈N^*．b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$，求：
（1）数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=$\frac{n}{3}$⇒当n≥2时，a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-2a_n-1=$\frac{n-1}{3}$，两式作差求出数列{a_n}的通项；
（2）由（1）的结论可知数列{b_n}的通项．再用错位相减法求和即可．

解答 解：（1）∵a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=$\frac{n}{3}$，①
∴当n≥2时，a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-2a_n-1=$\frac{n-1}{3}$．②
①-②，得3^n-1a_n=$\frac{1}{3}$，
所以a_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$（n≥2），
在①中，令n=1，得a₁=$\frac{1}{3}$也满足上式．
∴a_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$（n∈N^*）；
（2）∵b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$，
∴b_n=n•3ⁿ．
∴S_n=3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ．③
∴3S_n=3²+2×3³+3×3⁴+…+n•3ⁿ⁺¹．④
④-③，得2S_n=n•3ⁿ⁺¹-（3+3²+3³+…+3ⁿ），
即2S_n=n•3ⁿ⁺¹-$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$，
∴S_n=$\frac{（2n-1）•{3}^{n+1}}{4}$+$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了数列的通项的求法和求和方法：错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．