Question

已知数列{a_n}中，a₁=a，a₂=t（常数t＞0），S_n是其前n项和，且S_n=

n(an-a1)

2

．
（I）试确定数列{a_n}是否为等差数列，若是，求出其通项公式；若不是，说明理由；
（Ⅱ）令b_n=

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

，证明：2n＜b1+b2+…+bn＜2n+3(n∈N*)．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）由S_n=

n(an-a1)

2

，当n=1时，a₁=S₁=0，可得a=0，Sn=

nan

2

，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1化为（n-2）a_n=（n-1）a_n-1，当n≥3时，利用“累乘求积”a_n=

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a3

a2

•a2=

n-1

n-2

•

n-2

n-3

•…•

2

1

•t．可得数列{a_n}是等差数列，其通项公式为a_n=（n-1）t．
（II）由（I）可得S_n=

n(n-1)t

2

，可得b_n=

(n+2)(n+1)t

(n+1)nt

+

n(n+1)t

(n+1)(n+2)t

=2+

2

n

-

2

n+2

，利用“裂项求和”即可得出．

解答： （I）解：∵S_n=

n(an-a1)

2

，∴当n=1时，a₁=S₁=0，∴a=0．∴Sn=

nan

2

，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

nan

2

-

(n-1)an-1

2

，化为（n-2）a_n=（n-1）a_n-1，
当n≥3时，a_n=

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a3

a2

•a2=

n-1

n-2

•

n-2

n-3

•…•

2

1

•t=（n-1）t．
当n=1，2时满足上式，
∴数列{a_n}是等差数列，其通项公式为a_n=（n-1）t．
（II）证明：由（I）可得S_n=

n(n-1)t

2

，
∴b_n=

(n+2)(n+1)t

(n+1)nt

+

n(n+1)t

(n+1)(n+2)t

=

n+2

n

+

n

n+2

=2+

2

n

-

2

n+2

，
∴

n

i=1

bi=2n+2(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)，
∴2n＜

n

i=1

bi＜2n+3．

点评：本题考查了递推式的应用、“累乘求积”、等差数列的定义及其通项公式、“裂项求和”、不等式、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．