Question

15．（理科做）如图，正四棱锥P-ABCD中，PA=BD，点M为AC，BD的交点，点N为AP中点．
（1）求证：MN∥平面PBC；
（2）求MN与平面PAD所成角的正弦值；
（3）求平面PBC与平面PAD所成的二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以$\left\{{\overrightarrow{MA}，\overrightarrow{MB}，\overrightarrow{MP}}\right\}$为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系M-xyz，利用向量法能证明MN∥平面PBC．
（2）求出平面PAD的法向量，利用向量法能求出AM与平面DEF所成角的正弦值．
（3）求出平面PBC的法向量和平面PAD的法向量，利用向量法能求出平面PBC与平面PAD所成的二面角的余弦值．

解答 证明：（1）以$\left\{{\overrightarrow{MA}，\overrightarrow{MB}，\overrightarrow{MP}}\right\}$为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系M-xyz，
设PA=BD=2，则$MP=\sqrt{3}$，
M（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），C（-1，0，0），D（0，-1，0），$P（0，0，\sqrt{3}）$．…（2分）
由题意得$N（\frac{1}{2}，0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，则$\overrightarrow{MN}=（\frac{1}{2}，0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$．
∴$\overrightarrow{PC}$=（-1，0，-$\sqrt{3}$），=-2$\overrightarrow{MN}$，∴MN∥PC，…（4分）
又∵PC?平面PBC，MN?平面PBC，
∴MN∥平面PBC． …（6分）
解：（2）设平面PAD的法向量为$\overrightarrow{n_1}=（x，y，z）$，
由题意得$\overrightarrow{AD}=（-1，-1，0），\overrightarrow{PD}=（0，-1，-\sqrt{3}）$，
∵$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{n_1}=-x-y=0}\\{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{n_1}=-y-\sqrt{3}z=0}\end{array}}\right.$，∴$\left\{{\begin{array}{l}{x=-y}\\{z=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}y}\end{array}}\right.$，令y=1，得到$\overrightarrow{n_1}=（-1，1，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$，…（8分）
∴$cos＜\overrightarrow{MN}，\overrightarrow{n_1}＞=\frac{{\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{n_1}}}{{|{\overrightarrow{MN}}||{\overrightarrow{n_1}}|}}=\frac{{（\frac{1}{2}，0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）•（-1，1，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}）}}{{1×\sqrt{\frac{7}{3}}}}=\frac{-1}{{\sqrt{\frac{7}{3}}}}=\frac{{-\sqrt{21}}}{7}$． …（10分）
∴AM与平面DEF所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．        …（11分）
（3）设平面PBC的法向量为$\overrightarrow{n_2}=（x，y，z）$，
由题意得$\overrightarrow{BC}=（-1，-1，0），\overrightarrow{PB}=（0，1，-\sqrt{3}）$，
∵$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{n_2}=-x-y=0}\\{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{n_2}=y-\sqrt{3}z=0}\end{array}}\right.$，∴$\left\{{\begin{array}{l}{x=-y}\\{z=\frac{{\sqrt{3}}}{3}y}\end{array}}\right.$，
令y=1，得到$\overrightarrow{n_2}=（-1，1，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$，…（13分）
∵平面PAD的法向量$\overrightarrow{n_1}=（-1，1，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$，平面PBC的法向量$\overrightarrow{n_2}=（-1，1，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$，
∴$cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}||{\overrightarrow{n_2}}|}}=\frac{{（-1，1，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}）•（-1，1，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）}}{{\sqrt{\frac{7}{3}}×\sqrt{\frac{7}{3}}}}=\frac{{\frac{5}{3}}}{{\frac{7}{3}}}=\frac{5}{7}$． …（15分）
∴平面PBC与平面PAD所成的二面角的余弦值为$\frac{5}{7}$．…（16分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值、面面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．