Question

已知P（x₀，y₀）是函数f（x）=lnx图象上一点，在点P处的切线l与x轴交于点B，过点P作x轴的垂线，垂足为A．
（1）求切线l的方程及点B的坐标；
（2）若x₀∈（0，1），求△PAB的面积S的最大值，并求此时x₀的值．

Answer 1

分析：（1）先求出导函数f'（x），然后利用点斜式写出在点P处的切线方程，令y=0，求出x的值即可求出点B的坐标；
（2）先求出AB，PA的长，然后得到△PAB的面积S，然后利用导数研究面积函数在（0，1）上的单调性，从而求出函数的最值．

解答：解：（1）∵f'（x）=

1

x

，…（2分）
∴过点P的切线方程为y-lnx₀=

1

x0

（x-x₀）
即切线方程为：y=

1

x0

x+lnx₀-1…（4分）
令y=0，得x=x₀-x₀lnx₀，
即点B的坐标为（x₀-x₀lnx₀，0）…（6分）
（2）AB=x₀-x₀lnx₀-x₀=-x₀lnx₀，PA=|f（x₀）|=-lnx₀，
∴S=

1

2

AB•PA=

1

2

x₀（lnx₀）²…（9分）
S′=

1

2

ln²x₀+

1

2

x₀2lnx₀•

1

x0

=

1

2

lnx₀（lnx₀+2）…（11分）
由S′＜0得，

1

e2

＜x＜1，
∴x∈（0，

1

e2

）时，S单调递增；x∈（

1

e2

，1）时S单调递减；…（13分）
∴S_max=S（

1

e2

）=

2

e2

∴当x₀=

1

e2

，面积S的最大值为

2

e2

．…（14分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数在某点的切线方程，以及利用导数研究函数的最值，同时考查了计算能力，属于中档题．