Question

已知函数f（x）=

1

x2+1

，令g（x）=f（

1

x

）．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）求证：f（x）+g（x）=1（x≠0）；
（3）如图，已知f（x）在区间[0，+∞）的图象，请据此在该坐标系中补全函数f（x）在定义域内的图象，并在同一坐标系中作出函数g（x）的图象．请说明你的作图依据．

Answer 1

分析：（1）函数的定义域为R，求出x²+1的范围，取倒数即可得到答案；
（2）由f（x）的解析式求出g（x），作和后整理即可证得答案；
（3）利用偶函数图象的对称性画图．

解答：（1）解：f（x）=

1

x2+1

，由x²+1≥1，得0＜

1

x2+1

≤1，
∴函数f（x）的值域为（0，1]；
（2）证明：由f（x）=

1

x2+1

，则g（x）=f（

1

x

）=

1

( 1 x )2+1

=

x2

1+x2

．
∴f（x）+g（x）=

1

x2+1

+

x2

1+x2

=1；
（3）解：∵函数f（x）=

1

x2+1

为偶函数，∴其图象关于y轴对称，图象如图，

点评：本题考查了函数值的求法，考查了函数的性质，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形，是基础题．