Question

已知圆C₁：（x-2cosθ）²+（y-2sinθ）²=1与圆C₂：x²+y²=1，在下列说法中：
①对于任意的θ，圆C₁与圆C₂始终相切；
②对于任意的θ，圆C₁与圆C₂始终有四条公切线；
③直线l：2（m+3）x+3（m+2）y-（2m+5）=0（m∈R）与圆C₂一定相交于两个不同的点；
④P，Q分别为圆C₁与圆C₂上的动点，则|PQ|的最大值为4．
其中正确命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：

分析：对于①根据两圆心距与两圆的半径之和之间的关系判断即可．
对于②要根据两圆的位置关系判断，只有两圆外切时才有4条切线．
对于③直线l是直线系，恒过一个定点，只需判断此点与圆的位置关系即可．
对于④其两动点间最值画两个相外切的圆数形结合即可．

解答： 解：对于①结论是正确的，由圆C₁：（x-2cosθ）²+（y-2sinθ）²=1与圆C₂：x²+y²=1可知两圆圆心分别为C₁（2cosθ，2sinθ）与C₂（0，0），半径分布为r₁=1，r₂=1∴圆心距|C₁ C₂|=

(2cosθ)2+(2sinθ)2

=2，
|C₁C₂|=r₁+r₂，故对于任意的θ，圆C₁与圆C₂始终相切；
对于②结论是不正确的，由①可知两圆向外切，只有3条公切线．
对于③结论是正确的，由直线l：2（m+3）x+3（m+2）y-（2m+5）=0可化为：m（2x+3y-2）+5x+2y-5=0
解方程组

2x+3y-2=0 6x+2y-5=0

，得交点M（

1

2

，

1

3

），|MO|=

( 1 2 )2+( 1 3 )2

=

13

6

＜1，故点M在圆C₂内，所以直线l与圆C₂一定相交于两个不同的点．
对于④结论是正确的，如下图所示，当P，Q两点与公切点共线时距离最大为|PQ|=r₁+r₂=2

综上，正确的结论是①③④．
故答案为：①③④

点评：本题考查了直线与圆，圆与圆的位置关系，所以基础题．