Question

定义在R上的偶函数f（x）对任意的x∈R有f（1+x）=f（1-x），且当x∈[2，3]时，f（x）=-x²+6x-9．若函数y=f（x）-log_ax在（0，+∞）上有四个零点，则a的值为________．

Answer 1

分析：由已知中f（x+1）=f（x-1），故可能函数是以2为周期的周期函数，又由函数f（x）是定义在R上的偶函数，结合当x∈[2，3]时，f（x）=-x²+6x-9．我们易得函数f（x）的图象，最后利用图象研究零点问题即可．
解答：解：由函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）=f（x-1）成立，
可得f（x+2）=f（x），
∴函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，
当x∈[2，3]时，f（x）=-x²+6x-9．
函数y=f（x）-log_ax在（0，+∞）上的零点个数等于函数y=f（x）和函数y=log_ax的图象在（0，+∞）上的交点个数，如图所示：
当y=log_ax的图象过点A（4，-1）时，函数y=f（x）-log_ax在（0，+∞）上有四个零点，
∴-1=log_a4，∴a=．
故答案为：．
点评：本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合应用，函数的周期性，考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化与数形结合的数学思想，属于中档题．