Question

下列曲线的所有切线构成的集合中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是

1. A.
   f（x）=e^x
2. B.
   f（x）=x³
3. C.
   f（x）=lnx
4. D.
   f（x）=sinx

Answer 1

D
分析：设出切点坐标，利用曲线在切点处的导数值是曲线的切线斜率，将存在无数对互相垂直的切线转化为f′（x₁）•f′（x₂）=-1有无数对x₁，x₂使之成立；对四个选项的函数判断是否符合．
解答：设切点的横坐标为x₁，x₂
则存在无数对互相垂直的切线，即f′（x₁）•f′（x₂）=-1有无数对x₁，x₂使之成立
对于A由f′（x）=e^x＞0，
所以不存在f′（x₁）•f′（x₂）=-1成立；
对于B由于f′（x）=3x²＞0，
所以也不存在f′（x₁）•f′（x₂）=-1成立；
对于C由于f（x）=lnx的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=＞0，
对于Df′（x）=cosx，
∴f′（x₁）•f′（x₂）=cosx₁•cosx₂，
当x₁=2kπ，x₂=（2k+1）π，k∈Z，
f′（x₁）•f′（x₂）=-1恒成立．
故选D
点评：本题考查导数的几何意义：曲线在切点处的导数值是曲线的切线斜率；等价转化的能力．