Question

已知函数y=

1

2

•log2

x

4

•log2

x

2

(2≤x≤8)．
（Ⅰ）令t=log₂x，求y关于t的函数关系式及t的取值范围；
（Ⅱ）求函数的值域，并求函数取得最小值时的x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用对数的运算性质可得y=

1

2

(log2x-2)(log2x-1)，令t=log₂x，可得y=

1

2

t2-

3

2

t+1，根据2≤x≤8，求得t的范围．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得y=

1

2

(t-

3

2

)2-

1

8

，1≤t≤3，利用二次函数的性质求得函数的值域，以及函数取得最小值时的x的值．

解答：解：（Ⅰ）∵y=

1

2

•log2

x

4

•log2

x

2

=

1

2

(log2x-log24)(log2x-log22)，
∴y=

1

2

(log2x-2)(log2x-1)．
令t=log₂x，
则 y=

1

2

(t-2)(t-1)，即y=

1

2

t2-

3

2

t+1，
又∵2≤x≤8，
∴1≤log₂x≤3，即 1≤t≤3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）y=

1

2

(t-

3

2

)2-

1

8

，1≤t≤3，利用二次函数的性质可得
当t=

3

2

时，ymin=-

1

8

，
当t=3时，y _man=1，函数的值域为[-

1

8

，1]．
当ymin=-

1

8

时，t=

3

2

，
即log2x=

3

2

，
∴x=2

2

．

点评：本题主要考查对数的运算性质，二次函数的性质应用，属于中档题．