Question

如图点F为双曲线C的左焦点，左准线l交x轴于点Q，点P是l上的一点|PQ|=|FQ|=1，且线段PF的中点M在双曲线C的左支上．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若过点F的直线m与双曲线C的左右两支分别交于A、B两点，设，当λ∈[6，+∞）时，求直线m的斜率k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则c²=a²+b²，由此能求出双曲线方程．（2）F（-2，0），设A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），m：y=k（x+2），由，得x₂=λ（x₁+2）-2，y₂=λy₁，由，得（1-k²）y²-4ky+2k²=0．由此能求出直线m的斜率k的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）设双曲线方程为（a＞0，b＞0），
则c²=a²+b²，，∴b²=c．------------------------（2分）
又在双曲线上，∴．
联立①②③，解得，c=2．∴双曲线方程为x²-y²=2．--------（4分）
注：对点M用第二定义，得，可简化计算．
（Ⅱ）F（-2，0），设A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），m：y=k（x+2），则
由，得x₂=λ（x₁+2）-2，y₂=λy₁．--------------------（6分）
由，得（1-k²）y²-4ky+2k²=0．
∴，．△=16k²-8k²（1-k²）=8k²（1+k²）．
由y₂=λy₁，，，---------------------（8分）
消去y₁，y₂，
得．------------------------（9分）
∵λ≥6，函数在（1，+∞）上单调递增，
∴，∴．------------------------（10分）
又直线m与双曲线的两支相交，即方程（1-k²）y²-4ky+2k²=0两根同号，
∴k²＜1．------------------------------------------------（11分）
∴，故．------------------------（12分）
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．