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本题满分12分)

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,

BC=4,,AA1=4,.点D是AB的中点.

    (1)求证:AC⊥BC1

 (2)求二面角的平面角的正切值.

 

 

【答案】

 

解答:(1)证明:直三棱柱ABC-A1B1C1,底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,

,∴AC⊥BC,                   ………2分

又 AC⊥,且

∴ AC⊥平面BCC1 ,又平面BCC1                      ………4分

∴ AC⊥BC                                          ……5分

 

 

(2)解法一:过,则E为BC的中点,过E做EF^B1C于F,连接DF,

    中点,∴ ,又平面

平面

平面平面

 , 

平面平面

是二面角的平面角 ………9分

AC=3,BC=4,AA1=4,

∴在中,

     ∴二面角的正切值为     


解法二:以分别为轴建立如图所示空间直角坐标系………6分

AC=3,BC=4,AA1=4,

 

平面的法向量,     …………………8分

设平面的法向量

的夹角(或其补角)的大小就是二面角的大小

则由   令,则

                                   ……………10分

,则  ………11分

∵二面角是锐二面角

∴二面角的正切值为               …………… 12分

 

【解析】略

 

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