Question

如图：A，B是圆O上的两点，点C是圆O与x轴正半轴的交点，已知A（-3，4），且点B在劣弧CA上，△AOB为正三角形．
（1）求cos∠COA；
（2）求|BC|的值．

Answer 1

分析：（1）求cos∠COA，由图与题设知知终边一点的坐标为（-3，4），故可求出该点到原点的距离，用定义cos∠COA=

x

r

求出余弦值．
（2）由题设知∠BOC=∠COA-

π

3

，由（1）中可以求出∠COA正弦与余弦，然后用两角差的余弦公式求cos∠BOC=cos(∠COA-

π

3

)=cos∠COA•

1

2

+sin∠COA•

3

2

的值，再由余弦定理，|BC|²=|OB|²+|OC|²-2|OB|•|OC|cos∠BOC求出BC的长度．

解答：解：（1）由题意可知：x=-3，y=4，且圆半径r=|OA|=5，
根据三角函数定义可得：cos∠COA=

x

r

=-

3

5

（2）在△OBC中，|BC|²=|OB|²+|OC|²-2|OB|•|OC|cos∠BOC=25+25-50•cos∠BOC
∵cos∠COA=

x

r

=-

3

5

，sin∠COA=

y

r

=

4

5

∴cos∠BOC=cos(∠COA-

π

3

)=cos∠COA•

1

2

+sin∠COA•

3

2

=

4 3 -3

10

∴|BC|2=50-5(4

3

-3)=65-20

3

∴|BC|=2

15

-

5

点评：本题考点是三角函数的定义，考查了用三角函数的定义---知终边上一点的坐标求三角函数值，以及利用余弦定理求边，用两角和与差的三角函数公式求角的三角函数值．