Question

【题目】已知函数f(x)＝elnx，g(x)＝f(x)－(x＋1)．(e＝2.718……)

(1)求函数g(x)的极大值；

(2)求证：1＋＋＋…＋>ln(n＋1)(n∈N*)．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

解 (1)

∵g(x)＝f(x)－(x＋1)＝lnx－(x＋1)，

∴g′(x)＝－1(x>0)．

令g′(x)>0，解得0<x<1；

令g′(x)<0，解得x>1.

∴函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，

∴g(x)极大值＝g(1)＝－2.

(2)证明 由(1)知x＝1是函数g(x)的极大值点，也是最大值点，

∴g(x)≤g(1)＝－2，即lnx－(x＋1)≤－2lnx≤x－1(当且仅当x＝1时等号成立)，

令t＝x－1，得t≥ln(t＋1)，t>－1，

取t＝ (n∈N*)时，

则>ln＝ln，

∴1>ln2，>ln，>ln，…，>ln，

叠加得1＋＋＋…＋>ln(2···…·)＝ln(n＋1)．

即1＋＋＋…＋>ln(n＋1)．