Question

设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）在区间（

π

4

，

π

2

）上是减函数，且f（0）=f（

π

4

）=-f（

π

2

），则f（

π

12

）=

 

．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：直线与圆

分析：由f（0）=f（

π

4

）=-f（

π

2

），可得函数的图象的一条对称轴方程，以及和它相邻的一个对称中心，根据周期性求得ω的值．再根据f（x）在区间（

π

4

，

π

2

）上是减函数，求得2kπ≤φ≤2kπ+

π

2

．结合f（0）=f（

π

4

），求得φ=

π

4

，可得函数f（x）的解析式，从而求得f（

π

12

）的值．

解答： 解：由f（0）=f（

π

4

）=-f（

π

2

），可得函数的图象的一条对称轴方程为x=

0+ π 4

2

=

π

8

，和它相邻的一个对称中心为（

π 4 + π 2

2

，0），即（

3π

8

，0）．
再根据

1

4

T=

1

4

•

2π

ω

=

3π

8

-

π

8

，求得ω=2．
再根据f（x）在区间（

π

4

，

π

2

）上是减函数，2×

π

4

+φ≥2kπ+

π

2

，且2×

π

2

+φ≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得2kπ≤φ≤2kπ+

π

2

．
再根据f（0）=f（

π

4

），可得sinφ=sin（2×

π

4

+φ）=cosφ，故φ=

π

4

，函数f（x）=sin（2x+

π

4

），
∴f（

π

12

）=sin（2•

π

12

+

π

4

）=sin（

π

6

+

π

4

）=sin

π

6

cos

π

4

+cos

π

6

sin

π

4

=

2 + 6

4

．

点评：本题主要考查正弦函数的图象和性质，两角和的正弦公式，属于中档题．