Question

如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD，AF⊥PC于点F，FE∥CD交PD于点E．
（1）证明：CF⊥平面ADF；
（2）若AC∩BD=O，证明FO∥平面AED．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）要证CF⊥平面ADF，需要证明CF垂直面ADF内两相交直线，由AF⊥PC于点F，只需证明AD⊥CF
（2）根据已知和（1），只要证明F是CP中点即可．

解答： 证明：（1）由PD⊥平面ABCD，得PD⊥AD又AD⊥DC，AD∩DC=C根据线面垂直的判定定理，得AD⊥平面PDC
⇒又CF?面PCD，得AD⊥CF，又AF⊥CF，AF∩CF=C根据线面垂直的判定定理，得CF⊥平面ADF
（2）因为AD=PD，由（1）知，F为PC中点．∵ABCD为正方形，AC∩BD=O，∴O是AC中点，连接FO，
则FO是三角形ACP的边AP的中位线，∴FO∥AP，又∵AP?面APD，FO?面APD，根据线面平行的判定定理，
∴FO∥面APD，即FO∥面AED．

点评：本题考查了线面垂直于线面平行的判定，属于基础题．