Question

A、B是直线y=0与函数f(x)=2cos2

ωx

2

+cos(ωx+

π

3

)-1(ω＞0)图象的两个相邻交点，且|AB|=

π

2

．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f(A)=-

3

2

，c=3，△ABC的面积为3

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角公式，两角差的正弦公式，化简函数f（x）的解析式为-

3

sin（ωx-

π

3

），根据周期T=

2π

ω

=2×

π

2

，解得ω的值．
（II）由f（A）=-

3

2

，求得sin（2A-

π

3

）=

3

2

，结合A的范围求得A的值，再根据三角形的面积求出边b 的值，
利用余弦定理求出a的值．

解答：解：（I）f(x)=1+cosωx+

1

2

cosωx-

3

2

sinωx-1=-

3

sin(ωx-

π

3

)．
由函数的图象及|AB|=

π

2

，得到函数的周期T=

2π

ω

=2×

π

2

，解得ω=2．
（II）∵f(A)=-

3

sin(2A-

π

3

)=-

3

2

，∴sin(2A-

π

3

)=

3

2

．
又∵△ABC是锐角三角形，-

π

3

＜2A-

π

3

＜

2π

3

，∴2A-

π

3

=

π

3

，即A=

π

3

．
由S△ABC=

1

2

bcsinA=

3b

2

×

3

2

=3

3

，得b=4，
由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA=42+32-2×4×3×

1

2

=13，
即a=

13

．

点评：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，二倍角公式，两角差的正弦公式，正弦函数的周期性，根据三角函数的值求角，求出A的大小，是解题的关键．