Question

11．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{b}_{1}}{2+1}$-$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}+1}$$+\frac{{b}_{3}}{{2}^{3}+1}$-…+（-1）ⁿ⁺¹$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}+1}$，求数列{b_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，设c_n=2ⁿ+λb_n，问是否存在实数λ使得数列{c_n}（n∈N^*）是单调递增数列？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）由S_n=2a_n-2（n∈N^*），可得a₁=2a₁-2，解得a₁=2；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为：a_n=2a_n-1．即可得出．
（2）$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{b}_{1}}{2+1}$-$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}+1}$$+\frac{{b}_{3}}{{2}^{3}+1}$-…+（-1）ⁿ⁺¹$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}+1}$，n≥2时，$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{{b}_{1}}{2+1}$-$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}+1}$$+\frac{{b}_{3}}{{2}^{3}+1}$-…+$（-1）^{n}•\frac{{b}_{n-1}}{{2}^{n-1}+1}$，相减可得：b_n=（-1）ⁿ$（\frac{1}{{2}^{n}}+1）$．当n=1时，$\frac{{b}_{1}}{3}$=$\frac{1}{2}$，解得b₁=$\frac{3}{2}$．
（3）c_n=2ⁿ+λb_n，n≥3时，c_n=2ⁿ+λ$（-1）^{n}（\frac{1}{{2}^{n}}+1）$，c_n-c_n-1=2^n-1+$（-1）^{n}•λ（2+\frac{3}{{2}^{n}}）$＞0，即（-1）ⁿ•λ＞-$\frac{{2}^{n-1}}{\frac{3}{{2}^{n}}+2}$．①当n为大于或等于4的偶数时，λ＞-$\frac{1}{\frac{3}{{2}^{2n-1}}+\frac{1}{{2}^{n-2}}}$．②当n为大于或等于3的奇数时，λ＜$\frac{1}{\frac{3}{{2}^{2n-1}}+\frac{1}{{2}^{n-2}}}$．当n=2时，c₂-c₁＞0，即λ＜8．即可得出．

解答 解：（1）由S_n=2a_n-2（n∈N^*），可得a₁=2a₁-2，解得a₁=2；
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2），化为：a_n=2a_n-1．
∴数列{a_n}是等比数列，公比为2，首项为2．∴a_n=2ⁿ．
（2）∵$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{b}_{1}}{2+1}$-$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}+1}$$+\frac{{b}_{3}}{{2}^{3}+1}$-…+（-1）ⁿ⁺¹$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{{b}_{1}}{2+1}$-$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}+1}$$+\frac{{b}_{3}}{{2}^{3}+1}$-…+$（-1）^{n}•\frac{{b}_{n-1}}{{2}^{n-1}+1}$，
∴$\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{1}{{2}^{n-1}}$=（-1）ⁿ⁺¹$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}+1}$，∴b_n=（-1）ⁿ$（\frac{1}{{2}^{n}}+1）$．
当n=1时，$\frac{{b}_{1}}{3}$=$\frac{1}{2}$，解得b₁=$\frac{3}{2}$．∴b_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}，n=1}\\{（-1）^{n}（\frac{1}{{2}^{n}}+1），n≥2}\end{array}\right.$．
（3）c_n=2ⁿ+λb_n，
∴n≥3时，c_n=2ⁿ+λ$（-1）^{n}（\frac{1}{{2}^{n}}+1）$，c_n-1=2^n-1+（-1）^n-1λ$（\frac{1}{{2}^{n-1}}+1）$，
c_n-c_n-1=2^n-1+$（-1）^{n}•λ（2+\frac{3}{{2}^{n}}）$＞0，即（-1）ⁿ•λ＞-$\frac{{2}^{n-1}}{\frac{3}{{2}^{n}}+2}$．
①当n为大于或等于4的偶数时，λ＞-$\frac{{2}^{n-1}}{\frac{3}{{2}^{n}}+2}$，即λ＞-$\frac{1}{\frac{3}{{2}^{2n-1}}+\frac{1}{{2}^{n-2}}}$，当且仅当n=4时，λ＞-$\frac{128}{35}$．
②当n为大于或等于3的奇数时，λ＜$\frac{1}{\frac{3}{{2}^{2n-1}}+\frac{1}{{2}^{n-2}}}$，当且仅当n=3时，λ＜$\frac{32}{19}$．
当n=2时，c₂-c₁=$（{2}^{2}+\frac{5}{4}λ）$-$（2+\frac{3}{2}λ）$＞0，即λ＜8．
综上可得：λ的取值范围是$（-\frac{128}{35}，\frac{32}{19}）$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、分类讨论方法、不等式的解法、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．