Question

16．如图，设椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），长轴的右端点与抛物线C₂：y²=8x的焦点F重合，且椭圆C₁的离心率是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求椭圆C₁的标准方程；
（2）过F作直线l交抛物线C₂于A，B两点，过F且与直线l垂直的直线交椭圆C₁于另一点C，求△ABC面积的最小值，以及取到最小值时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由已知可得a，又由椭圆C₁的离心率得c，b=1即可．
（2）过点F（2，0）的直线l的方程设为：x=my+2，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$得y²-8my-16=0．|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$，同理得|CF|=$\sqrt{1+{m}^{2}}|{x}_{c}-{x}_{F}|=\frac{4}{4{m}^{2}+1}$•$\sqrt{1+{m}^{2}}$．△ABC面积s=$\frac{1}{2}$|AB|•|CF|=$\frac{16（1+{m}^{2}）}{4{m}^{2}+1}•\sqrt{1+{m}^{2}}$．令$\sqrt{1+{m}^{2}}=t\\;（t≥1）$，则s=f（t）=$\frac{16{t}^{3}}{4{t}^{2}-3}$，利用导数求最值即可．

解答 解：（1）∵椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），长轴的右端点与抛物线C₂：y²=8x的焦点F重合，∴a=2，
又∵椭圆C₁的离心率是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．∴c=$\sqrt{3}$，⇒b=1，∴椭圆C₁的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）过点F（2，0）的直线l的方程设为：x=my+2，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$得y²-8my-16=0．
y₁+y₂=8m，y₁y₂=-16，∴|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=8（1+m²_）．
 过F且与直线l垂直的直线设为：y=-m（x-2）
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-m（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$ 得（1+4m²）x²-16m²x+16m²-4=0，
x_C+2=$\frac{16{m}^{2}}{1+4{m}^{2}}$，⇒x_C=$\frac{2（4{m}^{2}-1）}{4{m}^{2}+1}$．
∴|CF|=$\sqrt{1+{m}^{2}}|{x}_{c}-{x}_{F}|=\frac{4}{4{m}^{2}+1}$•$\sqrt{1+{m}^{2}}$．
△ABC面积s=$\frac{1}{2}$|AB|•|CF|=$\frac{16（1+{m}^{2}）}{4{m}^{2}+1}•\sqrt{1+{m}^{2}}$．
令$\sqrt{1+{m}^{2}}=t\\;（t≥1）$，则s=f（t）=$\frac{16{t}^{3}}{4{t}^{2}-3}$，f′（t）=$\frac{16（4{t}^{4}-9{t}^{2}）}{（4{t}^{2}-3）^{2}}$，
令f′（t）=0，则t²=$\frac{9}{4}$，即1+m²=$\frac{9}{4}$时，△ABC面积最小．
即当m=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$时，△ABC面积的最小值为9，此时直线l的方程为：x=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$y+2．

点评 本题考查了直线与椭圆、抛物线的位置关系，考查了运算能力，属于中档题．