【题目】 已知函数(a为常数).
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)单调增区间为,单调减区间为和.(2)
【解析】试题分析:(1)先确定函数定义域,再求导函数,进而求定义区间上导函数的零点,最后列表分析导函数符号并确定单调区间:增区间为,,减区间为和.(2)不等式恒成立问题,一般转化为对应函数最值问题: ,再利用导数研究函数单调性,确定当时有最大值为,即得实数的取值范围.
试题解析:解:(Ⅰ)函数的定义域为,
当时, ,
,
由得, ,
由得, 或,
∴函数的单调增区间为,
单调减区间为和.
(Ⅱ)当时, 恒成立,
令,
问题转换为时, .
,
①当时, ,
在上单调递增,
此时无最大值,故不合题意.
②当时,令解得, ,
此时在上单调递增,
此时无最大值,故不合题意.
③当时,令解得, ,
当时, ,
而在上单调递增,在上单调递减,
,
令, ,
则,
在上单调递增,
又,
当时, ,
在上小于或等于不恒成立,即不恒成立,
故不合题意.
当时, ,
而此时在上单调递减,
,符合题意.
综上可知,实数的取值范围是.
(也可用洛必达法则)
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知四棱锥,底面为菱形, ,H为上的点,过的平面分别交于点,且平面.
(1)证明: ;
(2)当为的中点, ,与平面所成的角为,求二面角的余弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系xoy中,曲线C的参数方程是(θ为参数).以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l的极坐标方程为:
(1)求曲线C的极坐标方程;
(2)设直线θ=与直线l交于点M,与曲线C交于P,Q两点,已知|OM||OP||OQ)=10,求t的值。
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,四棱锥PABC中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.
(Ⅰ)证明MN∥平面PAB;
(Ⅱ)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线与二次曲线有4个不同的交点,由下面的草图可以看出,下面三个结论是成立的,请给出证明.
(1).两曲线的4个交点中,至少有两个交点位于轴的下方;
(2).抛物线必与轴有两个不同的交点,记为,,;
(3).两曲线的4个交点中,必存在一点,使.
注.对、、的不同取值会有无数个图形,此处仅就,各给出一个示意图,同时也就限制“由图看出”的解答.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,直三棱柱ABCA1B1C1中(侧棱与底面垂直的棱柱),AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=,D 是A1B1的中点.
(1)求证:C1D⊥平面AA1B1B;
(2)当点F 在BB1上的什么位置时,AB1⊥平面C1DF ?并证明你的结论.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数,试问:
①能组成多少个没有重复数字的七位数?
②上述七位数中三个偶数排在一起的有几个?
③在①中的七位数中,偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个?
④在①中任意两偶数都不相邻的七位数有几个?
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com