Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率是

1

2

，其左、右顶点分别为A₁，A₂，B为短轴的一个端点，△A₁BA₂的面积为2

3

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l：x=2

2

与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于A₁，A₂的动点，直线A₁P，A₂P分别交直线l于E，F两点，证明：|DE|•|DE|恒为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）根据椭圆离心率是

1

2

，其左、右顶点分别为A₁，A₂，B为短轴的端点，△A₁BA₂的面积为2

3

，建立方程组，可求椭圆方程．
（2）A₁（-2，0），A₂（2，0）．设P（x₀，y₀），直线A₁P的方程为y=

y0

x0+2

（x+2），令x=2

2

，得|DE|=

(2 2 +2)y0

x0+2

，同理|DF|=

(2 2 -2)y0

x0-2

，由此能求出|DE|•|DF|为定值1．

解答： （1）解：由已知，可得

e= c a = 1 2 ab=2 3 a2=b2+c2

，
解得a=2，b=

3

． 
故所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．   
（2）由题意可得：A₁（-2，0），A₂（2，0）．设P（x₀，y₀），
由题意可得：-2＜x₀＜2，
∴直线A₁P的方程为y=

y0

x0+2

（x+2），令x=2

2

，
则y=

(2 2 +2)y0

x0+2

，即|DE|=

(2 2 +2)y0

x0+2

，
同理：直线BP的方程为y=

y0

x0-2

（x-2），令x=2

2

，
则y=

(2 2 -2)y0

x0-2

，即|DF|=

(2 2 -2)y0

x0-2

，
所以|DE|•|DF|=

(2 2 +2)y0

x0+2

×

(2 2 -2)y0

x0-2

=

4y02

|x02-4|

=

4y02

4-x02

，
y₀²=4-x₀²，代入上式，得|DE|•|DF|=1，
故|DE|•|DF|为定值1．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查|DE|•|DE|恒为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．