Question

【题目】某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a＞0，b＞0)．已知投资额为零时收益为零．

(1)求a，b的值；

(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．

Answer 1

【答案】（1）a＝2，b＝1；（2）答案见解析.

【解析】

(1)利用已知条件通过f(0)=0，g(0)＝0即可得出a、b的值。

(2)设投入B商品的资金为x万元(0＜x≤5) 则投入经销A商品的资金为(5－x)万元，

设所获得的收益为S(x)万元，则S(x)＝2(5－x)＋6ln (x＋1)＝6ln (x＋1)－2x＋10，(0＜x≤5)通过函数的导数，求出函数的最值即可。

(1)由投资额为零时收益为零，

可知f(0)＝－a＋2＝0，g(0)＝6ln b＝0，

解得a＝2，b＝1.

(2)由(1)可得f(x)＝2x，g(x)＝6ln (x＋1)．

设投入经销B商品的资金为x万元(0＜x≤5)，

则投入经销A商品的资金为(5－x)万元，

设所获得的收益为S(x)万元，则S(x)＝2(5－x)＋6ln (x＋1)＝6ln (x＋1)－2x＋10(0＜x≤5)．

S′(x)＝－2，令S′(x)＝0，得x＝2.

当0＜x＜2时，S′(x)＞0，函数S(x)单调递增；

当2＜x≤5时，S′(x)＜0，函数S(x)单调递减．

所以，当x＝2时，函数S(x)取得最大值，S(x)max＝S(2)＝6ln 3＋6≈12.6万元．

所以，当投入经销A商品3万元，B商品2万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元．