Question

10．在△ABC中，tanA+tanB+$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$tanAtanB，且sinA•cosA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，则此三角形为（　　）

• A． 等腰三角形
• B． 直角三角形
• C． 等腰直角三角形
• D． 等边三角形

Answer 1

分析 由tanA+tanB+$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$tanAtanB，推导出C=60°，由sinA•cosA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，推导出A=60°，从而得到△ABC为等边三角形．

解答 解：∵tanA+tanB+$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$tanAtanB，
即tanA+tanB=-$\sqrt{3}$（1-tanAtanB），
∴$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=tan（A+B）=-$\sqrt{3}$，又A与B都为三角形的内角，
∴A+B=120°，即C=60°，
∵sinAcosA=$\frac{sinAcosA}{si{n}^{2}A+co{s}^{2}A}$=$\frac{tanA}{1+ta{n}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴tanA=$\sqrt{3}$，∴A=60°，
∴△ABC为等边三角形．
故选：D．

点评 本题考查三角形形状的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意两角和与差的正切函数和同角三角函数关系式的合理运用．