Question

已知a为常数，求函数f（x）=x³-3ax（0≤x≤1）的最小值．

Answer 1

分析：求函数f（x）=x³-3ax的导数，对方程f′（x）=3（x²-a）=0有无实根，和有根，根是否在区间[0，1]内进行讨论，求得函数的极值，再与f（0）、f（1）比较大小，确定函数的最小值．

解答：解：f′（x）=3x²-3a=3（x²-a），
（1）若a≤0，则f′（x）=3（x²-a）≥0，此时函数f（x）单调递增，
故当x=0时，f（x）的最小值f（x）_min=f（0）=0．（2分）
（2）若a＞0，令f′（x）=3（x²-a）=0，
解得x=±

a

．∵x∈[0，1]，则考虑x=

a

的情况，如表所示　（3分）
①若0＜

a

＜1即0＜a＜1时，则有

x	0	(0， a )	a	( a ，1)	1
f′（x）		-	0	+
f（x）	0	单调递减	-2a a	单调递增	1-3a

（5分）
当x=

a

时，f（x）有最小值f(x)min=f(

a

)=-2a

a

；（7分）
②若

a

≥1，即a≥1时，函数f（x）在[0，1]上是减函数，
∴当x=1时，f（x）有最小值f（x）_min=f（1）=1-3a．（10分）
综上可知：当a≤0时，x=0，f（x）有最小值0
当0＜a＜1时，x=

a

，f(x)有最小值-2a

a

，
当a≥1时，x=1，f（x）有最小值1-3a．（12分）

点评：考查利用导数研究函数在闭区间上的最值问题，对方程f′（x）═0有无实根，和有根，根是否在区间[0，1]内进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，增加了题目的难度，属中档题．