Question

7．一条直线经过点P（2，3）
（1）若此直线是一条入射光线，射在直线l：x+y+1=0，反射后经过点Q（1，1），求反射光线所在直线的方程；
（2）若直线与x轴，直线x=-1围成的三角形的面积是18，且不过第三象限，求直线的方程．

Answer 1

分析 （1）利用轴对称的性质，建立关系式算出点P关于直线x+y+1=0对称点P′（-4，-3）．根据镜面反射原理可得反射光线所在直线为P′Q所在直线，求出直线P′Q的方程并化成一般式，即得反射光线所在的直线方程．
（2）设直线方程为y-3=k（x-2）（k＞0），利用直线与x轴，直线x=-1围成的三角形的面积是18，建立方程，求出k，即可求直线的方程．

解答 解：（1）设点P关于直线x+y+1=0对称点P′（m，n），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3-n}{2-m}=1}\\{\frac{m+2}{2}+\frac{n+3}{2}+1=0}\end{array}\right.$，解之得m=-4，n=-3
可得P′（-4，-3），
∵点P（2，3）射到直线x+y+1=0上，反射后经过点Q（1，1），
∴反射光线所在直线为P′Q所在直线
∵P′Q的斜率k=$\frac{4}{5}$
∴直线P′Q的方程为y-1=$\frac{4}{5}$（x-1），化简得：4x-5y+1=0．
即反射光线所在的直线方程为4x-5y+1=0．
（2）设直线方程为y-3=k（x-2）（k＞0），
x=-1，可得y=3-3k，y=0，可得x=2-$\frac{3}{k}$，
∵直线与x轴，直线x=-1围成的三角形的面积是18，
∴$\frac{1}{2}$×（2-$\frac{3}{k}$+1）×（3k-3）=18，
∴k²-6k+1=0，
∵k＞0，
∴k=3+2$\sqrt{2}$，
∴直线方程为y-3=（3+2$\sqrt{2}$）（x-2）

点评 本题给考查反射光线所在的直线方程，考查三角形面积的计算．着重考查了轴对称的性质、直线的斜率与直线方程的求法等知识，属于中档题．