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已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d(x∈R),f′(0)=6设F(x)=f(x)-f′(x)若F(0)=0,F(1)=-11.
(1)求b、c、d的值.
(2)求F(x)的单调区间与极值.

解:(1)∵f(x)=x3+bx2+cx+d,∴f'(x)=3x2+2bx+c.
由f′(0)=6得c=6,
从而F(x)=f(x)-f'(x)=x3+bx2+cx+d-(3x2+2bx+c)=x3+(b-3)x2+(c-2b)x+d-c.
由于F(0)=0,F(1)=-11,
所以d-c=0,且(b-3)+(c-2b)+d-c=-11,
得b=14,c=6,d=6;
(2)由(1)知F(x)=x3+11x2-22x,从而F'(x)=3x2+22x-22,
当F'(x)>0时,x<或x>
当F'(x)<0时,<x<
由此可知,(-∞,)和(,+∞)是函数F(x)的单调递增区间;
)是函数F(x)的单调递减区间;
F(x)在x=时取得极大值,极大值为369,F(x)在x=时取得极小值,极小值为-10.
分析:(1)根据F(x)=f(x)-f'(x)且F(0)=0,F(1)=-11,列方程组能够求出b、c与d的值.
(2)对F(x)进行求导,F'(x)>0时的x的取值区间为单调递增区间,F'(x)<0时的x的取值区间为单调递减区间.F'(x)=0时的x,使得函数F(x)取到极值.
点评:本题主要考查对导数的理解.导数大于0时可求原函数的单调递增区间,导数小于0时可求原函数的单调递减区间,取到极值时导数为0.
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•深圳一模)已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•上海模拟)已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:上海模拟 题型:解答题

已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:深圳一模 题型:解答题

已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

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