Question

19．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，点P是椭圆上一点，若存在点P使得∠F₁PF₂为钝角，求离心率e的取值范围．

Answer 1

分析 由∠F₁PF₂为钝角，得到$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$＜0有解，转化为c²＞x₀²+y₀²有解，求出x₀²+y₀²的最小值后求得椭圆离心率的取值范围．

解答 解：设P（x₀，y₀），则|x₀|＜a，
又∠F₁PF₂为钝角，当且仅当$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$＜0有解，
即c²＞x₀²+y₀²有解，即c²＞（x₀²+y₀²）_min．
又y₀²=b²-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$x₀²，
∴x₀²+y₀²=b²+$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$x₀²∈[b²，a²），
即（x₀²+y₀²）_min=b²．
故c²＞b²，c²＞a²-c²，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$＞$\frac{1}{2}$，即e＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又0＜e＜1，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜e＜1．

点评 本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了平面向量数量积在解题中的应用，体现了数学转化思想方法，解答此题的关键在于把存在一点P使∠F₁PF₂为钝角转化为$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$＜0有解．