Question

10．已知函数f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的方程，f（x）=-$\frac{5}{2}$x+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；
（3）证明：对任意的正整数n，不等式ln$\frac{n+2}{2}$＜$\frac{1}{1}$+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{n}$都成立．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x），因为函数在x=0处取极值，所以f'（0）=0求出a即可；
（2）把a=1代入求得f（x）的解析式，把f（x）代入方程中得ln（x+1）-x²+$\frac{3}{2}$x-b=0．然后令φ（x）=ln（x+1）-x²+$\frac{3}{2}$x-b，求出导函数，讨论导函数的增减性，得到b的取值范围；
（3）证明ln（x+1）-x²-x≤0（当且仅当x=0时，等号成立）．对任意正整数n，取x=$\frac{1}{n}$得，ln（$\frac{1}{n}$+1）＜$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$，故ln$（\frac{n+1}{n}）$＜$\frac{n+1}{{n}^{2}}$，即可证明结论．

解答 （1）解：由题意，f′（x）=$\frac{1}{x+a}$-2x-1，
∵x=0时，f（x）取得极值，
∴f'（0）=0，
故$\frac{1}{0+a}$-1=0，解得a=1．经检验a=1符合题意；--------------（3分）
（2）解：由a=1知f（x）=ln（x+1）-x²-x，
由f（x）=-$\frac{5}{2}$x+b可得ln（x+1）-x²+$\frac{3}{2}$x-b=0
令φ（x）=ln（x+1）-x²+$\frac{3}{2}$x-b
则f（x）=-$\frac{5}{2}$x+b在[0，2]上恰有两个不同的实数根，
等价于φ（x）=0在[0，2]上恰有两个不同实数根．
φ′（x）=$\frac{-（4x+5）（x-1）}{2（x+1）}$，
当x∈（0，1）时，φ'（x）＞0，于是φ（x）在[0，1]上单调递增；
当x∈（1，2）时，φ'（x）＜0，于是φ（x）在[1，2]上单调递减；
依题意有φ（0）≤0，φ（1）＞0，φ（2）≤0
∴ln3-1≤b＜ln2+$\frac{1}{2}$；
（3）证明：f（x）=ln（x+1）-x²-x的定义域为{x|x＞-1}，
由（1）知f′（x）=$\frac{-x（2x+3）}{x+1}$，
令f′（x）=0得，x=0或x=-$\frac{3}{2}$（舍去）
∴当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
∴f（0）为f（x）在（-1，+∞）上的最大值．---------------（10分）
∴f（x）≤f（0），
故ln（x+1）-x²-x≤0（当且仅当x=0时，等号成立）．
对任意正整数n，取x=$\frac{1}{n}$得，ln（$\frac{1}{n}$+1）＜$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$，
故ln$（\frac{n+1}{n}）$＜$\frac{n+1}{{n}^{2}}$
∵$\frac{n+1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n-1}$（n≥2），
∴ln$（\frac{n+1}{n}）$＜$\frac{1}{n-1}$（n≥2），
则ln$\frac{3}{2}$+ln$\frac{4}{3}$+…+ln$\frac{n+2}{n+1}$＜$\frac{1}{1}$+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{n}$
即ln$\frac{n+2}{2}$＜$\frac{1}{1}$+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{n}$，当n=1时上式也成立，
因此对任意的正整数n，不等式ln$\frac{n+2}{2}$＜$\frac{1}{1}$+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{n}$都成立．---------------（12分）

点评 考查学生利用导数研究函数极值的能力，注意函数与方程的综合运用，以及会进行不等式的证明．