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10.已知函数f(x)=ln(x+a)-x2-x在x=0处取得极值.
(1)求实数a的值;
(2)若关于x的方程,f(x)=-$\frac{5}{2}$x+b在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数b的取值范围;
(3)证明:对任意的正整数n,不等式ln$\frac{n+2}{2}$<$\frac{1}{1}$+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{n}$都成立.

分析 (1)求出f′(x),因为函数在x=0处取极值,所以f'(0)=0求出a即可;
(2)把a=1代入求得f(x)的解析式,把f(x)代入方程中得ln(x+1)-x2+$\frac{3}{2}$x-b=0.然后令φ(x)=ln(x+1)-x2+$\frac{3}{2}$x-b,求出导函数,讨论导函数的增减性,得到b的取值范围;
(3)证明ln(x+1)-x2-x≤0(当且仅当x=0时,等号成立).对任意正整数n,取x=$\frac{1}{n}$得,ln($\frac{1}{n}$+1)<$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$,故ln$(\frac{n+1}{n})$<$\frac{n+1}{{n}^{2}}$,即可证明结论.

解答 (1)解:由题意,f′(x)=$\frac{1}{x+a}$-2x-1,
∵x=0时,f(x)取得极值,
∴f'(0)=0,
故$\frac{1}{0+a}$-1=0,解得a=1.经检验a=1符合题意;--------------(3分)
(2)解:由a=1知f(x)=ln(x+1)-x2-x,
由f(x)=-$\frac{5}{2}$x+b可得ln(x+1)-x2+$\frac{3}{2}$x-b=0
令φ(x)=ln(x+1)-x2+$\frac{3}{2}$x-b
则f(x)=-$\frac{5}{2}$x+b在[0,2]上恰有两个不同的实数根,
等价于φ(x)=0在[0,2]上恰有两个不同实数根.
φ′(x)=$\frac{-(4x+5)(x-1)}{2(x+1)}$,
当x∈(0,1)时,φ'(x)>0,于是φ(x)在[0,1]上单调递增;
当x∈(1,2)时,φ'(x)<0,于是φ(x)在[1,2]上单调递减;
依题意有φ(0)≤0,φ(1)>0,φ(2)≤0
∴ln3-1≤b<ln2+$\frac{1}{2}$;
(3)证明:f(x)=ln(x+1)-x2-x的定义域为{x|x>-1},
由(1)知f′(x)=$\frac{-x(2x+3)}{x+1}$,
令f′(x)=0得,x=0或x=-$\frac{3}{2}$(舍去)
∴当-1<x<0时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
当x>0时,f′(x)<0,f(x)单调递减.
∴f(0)为f(x)在(-1,+∞)上的最大值.---------------(10分)
∴f(x)≤f(0),
故ln(x+1)-x2-x≤0(当且仅当x=0时,等号成立).
对任意正整数n,取x=$\frac{1}{n}$得,ln($\frac{1}{n}$+1)<$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$,
故ln$(\frac{n+1}{n})$<$\frac{n+1}{{n}^{2}}$
∵$\frac{n+1}{{n}^{2}}$<$\frac{1}{n-1}$(n≥2),
∴ln$(\frac{n+1}{n})$<$\frac{1}{n-1}$(n≥2),
则ln$\frac{3}{2}$+ln$\frac{4}{3}$+…+ln$\frac{n+2}{n+1}$<$\frac{1}{1}$+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{n}$
即ln$\frac{n+2}{2}$<$\frac{1}{1}$+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{n}$,当n=1时上式也成立,
因此对任意的正整数n,不等式ln$\frac{n+2}{2}$<$\frac{1}{1}$+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{n}$都成立.---------------(12分)

点评 考查学生利用导数研究函数极值的能力,注意函数与方程的综合运用,以及会进行不等式的证明.

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