[题目]如图, 直线与抛物线交于两点, 线段的垂直平分线与直线交于点. (1)求点的坐标,(2)当P为抛物线上位于线段下方(含)的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】如图, 直线与抛物线交于两点, 线段的垂直平分线与直线交于点.

（1）求点的坐标；

（2）当P为抛物线上位于线段下方（含）的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.

【答案】(1) ；(2) 最大值30

【解析】

（1）把直线方程抛物线方程联立求得交点A，B的坐标，则AB中点M的坐标可得，利用AB的斜率推断出AB垂直平分线的斜率，进而求得AB垂直平分线的方程，把y=-5代入求得Q的坐标．
（2）设出P的坐标，利用P到直线OQ的距离求得三角形的高，利用两点间的距离公式求得OQ的长，最后利用三角形面积公式表示出三角形OPQ，利用x的范围和二次函数的单调性求得三角形面积的最大值．

解：(1) 解方程组得或

即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).

由,

直线的垂直平分线方程

令, 得, ∴

(2)直线OQ的方程为x+y=0, 设

∵点P到直线OQ的距离d==,,

∴=.

∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上,

∴－4≤x<4－4或4－4< x≤8.

∵函数在区间上单调递增,

∴当x=8时, ΔOPQ的面积取到最大值30

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【题目】已知，，.

（Ⅰ）若，求的极值；

（Ⅱ）若函数的两个零点为，记，证明：．

【答案】（Ⅰ）极大值为，无极小值；（Ⅱ）证明见解析.

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详解：（Ⅰ），

，

由得，

且当时，，即在上单调递增，

当时，，即在上单调递减，

∴当时，有极大值，且，无极小值．

（Ⅱ）函数的两个零点为，不妨设，

，．

，

即，

又，，

，

．

令，则

，

在上单调递减，

故，

，

即，

又，

．

点睛：（1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大（小）值、函数的变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的大体图象，然后通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．

（2）证明不等式时常采取构造函数的方法，然后通过判断函数的单调性，借助函数的最值进行证明．

【题型】解答题
【结束】
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	语文	数学	外语	物理	化学	生物	政治	历史	地理
高一（1）班	6	9	7	5	4	5	3	3	2
高一（7）班		6		4	5	6	5	2	3

该校把上表的数据作为样本，把两个班同一学科的得票之和定义为该年级该学科的“好感指数”.

（Ⅰ）如果数学学科的“好感指数”比高一年级其他文化课都高，求的所有取值；

（Ⅱ）从高一（1）班投票给政治、历史、地理的学生中任意选取位同学，设随机变量为投票给地理学科的人数，求的分布列和期望；

（Ⅲ）当为何值时，高一年级的语文、数学、外语三科的“好感指数”的方差最小?（结论不要求证明）

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【题目】新高考最大的特点就是取消文理分科，除语文、数学、外语之外，从物理、化学、生物、政治、历史、地理这科中自由选择三门科目作为选考科目．某研究机构为了了解学生对全文（选择政治、历史、地理）的选择是否与性别有关，从某学校高一年级的1000名学生中随机抽取男生，女生各人进行模拟选科．经统计，选择全文的人数比不选全文的人数少人．