Question

已知数列{a_n}的前n项的平均数的倒数为

1

2n+1

，
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设cn=

an

2n+1

，试判断并说明c_n+1-c_n（n∈N^*）的符号；
（3）设函数f(x)=-x2+4x-

an

2n+1

，是否存在最大的实数λ，当x≤λ时，对于一切自然数n，都有f（x）≤0．

Answer 1

分析：（1）根据数列{a_n}的前n项的平均数的倒数为

1

2n+1

，表示出数列的前n项和公式，问题就变化为由s_n求a_n的问题，这种问题要仿写一个s_n-1，两个式子相减，得到要求的通项．注意首相是否符合通项．
（2）根据所给的新数列写出数列的表达式，即c_n的表达式，把式子进行整理，分子常数化，仿写c_n-1，写出要判断符号的式子，两式相减得到分子相同的两个分式的差的形式，容易判断符号．
（3）本题是一个恒成立问题，根据上一问得到的关于c_n的单调性，对于一切自然数n，都有不等式成立，用c₁代入，解关于变量的一元二次不等式，得到结果．

解答：解：（1）∵数列{a_n}的前n项的平均数的倒数为

1

2n+1

，
∴a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=n（2n+1），a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）（2n-1）
两式相减得a_n=4n-1（n≥2），
∵a₁=3，
∴a_n=4n-1（n∈N）
（2）∵cn=

an

2n+1

=

4n-1

2n+1

=2-

3

2n+1

，cn+1=2-

3

2n+3

，
∴cn+1-cn=

3

2n+1

-

3

2n+3

＞0，即cn+1＞cn．
（3）由（2）知c₁=1是数列{c_n}中的最小项，
∵x≤λ时，对于一切自然数n，都有f(x)≤0，即-x2+4x≤

an

2n+1

=cn，
∴-x²+4x≤c₁=1，即x²-4x+1≥0，
∴x≥2+

3

或x≤2-

3

， ∴取λ=2-

3

．

点评：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，本题可以培养学生的知识、方法迁移能力，可以提高学生分析问题和解决问题的能力．