Question

4．已知空间向量$\overrightarrow{a}$=（0，$\frac{5}{4}$，-$\frac{5}{4}$），$\overrightarrow{b}$=（x，0，-2），则“x=2”是“＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{π}{3}$”的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 根据空间向量数量积的定义结合向量夹角公式以及充分条件和必要条件的定义进行求解即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（0，$\frac{5}{4}$，-$\frac{5}{4}$），$\overrightarrow{b}$=（x，0，-2），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（0，$\frac{5}{4}$，-$\frac{5}{4}$）•（x，0，-2）=$\frac{5}{4}$×2=$\frac{5}{2}$，
则|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{（\frac{5}{4}）^{2}+（-\frac{5}{4}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{x}^{2}+4}$，
若＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{π}{3}$，
则cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=cos$\frac{π}{3}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$，
即$\frac{\frac{5}{2}}{\frac{5\sqrt{2}}{4}•\sqrt{{x}^{2}+4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$=$\frac{1}{2}$，
平方得$\frac{2}{{x}^{2}+4}=\frac{1}{4}$，得x²=4，即x=±2，
即“x=2”是“＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{π}{3}$”的充分不必要条件，
故选：A

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间向量夹角公式是解决本题的关键．