Question

【题目】设函数是定义在的偶函数，在区间是减函数，且图象过点原点，则不等式的解集为________.

Answer 1

【答案】

【解析】

由题意和偶函数的性质判断出函数f（x）的对称性，结合条件画出f（x）的图象，根据函数的单调性和图象，求出不等式（x﹣1）f（x）<0的解集．

∵函数y＝f（x+1）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，

∴f（x+1）＝f（﹣x+1），则f（x）的图象关于直线x＝1对称，

∵函数f（x）在（﹣∞，1）上是减函数，

∴在（1，+∞）上是增函数，

又f（0）＝0，∴的大致图像如图所示：

∴当x＞1时，f（x）<0＝f（2），解得1＜x<2

当x＜1时，f（x）>0＝f（0），得x＜0，即x＜0，

综上，不等式（x﹣1）f（x）＜0的解集是（﹣∞，0）∪(1，2)，

故答案为：．