Question

已知函数 f (x) = x³ －(l－3)x² －(l +3)x + l －1（l > 0）在区间[n, m]上为减函数，记m的最大值为m₀，n的最小值为n₀，且满足m₀-n₀ = 4．

（1）求m₀，n₀的值以及函数f (x)的解析式；

（2）已知等差数列{x_n}的首项．又过点A(0, f (0))，B(1, f (1))的直线方程为y=g(x)．试问：在数列{x_n}中，哪些项满足f (x_n)>g(x_n)？

（3）若对任意x₁，x₂∈ [a, m₀]（x₁≠x₂），都有成立，求a的最小值．

Answer 1

（1） m₀ = 3，n₀ = -1

（2）当n< 91或n > 191（n∈N*）时，满足题意．

（3）a的最小值为1．

解析:

（1），

由题意可知m₀，n₀为方程f ′(x) = 0的两根．

∴其中m₀ > n₀．

∵m₀-n₀ = 4，∴= 4，即= 0．

解得l = 6或l = -3，∵l > 0，∴l = 6, ∴f (x) = x³ - 3x² - 9x + 5．

同时可解得：m₀ = 3，n₀ = -1

（2）由（Ⅰ）得A(0, 5)，B(1, -6)，∴g(x) = -11x + 5．

∴===．

∵>0，∴．

由题意，得．

若，则，∴n < 91．

若，则，∴n > 191．

∴当n< 91或n > 191（n∈N*）时，满足题意．

（3）由(1)有及l = 6, 易解得m₀ = 3，n₀ = -1.

=-

=+=． 

由题意，< 0恒成立，∴恒成立．

∵m₀ = 3，∴a≤x₁<x₂≤3．∴．

要使恒成立，只要2a≥2，即a≥1．∴a的最小值为1．