Question

6．已知圆C：x²+y²-6x-8y=0和x轴交于原点O和定点A，点B是动点，且∠OBA=90°，0B交⊙C于M，AB交⊙C于N，求MN的中点P的轨迹．

Answer 1

分析 利用参数法，求出M，N的坐标，消去参数，即可求MN的中点P的轨迹．

解答 解：令y=0，可得x²-6x=0，∴x=0或6，
∴O（0，0），A（6，0）
设直线OM的方程为y=kx，则AB的方程为y=-$\frac{1}{k}$（x-6）
y=kx，与x²+y²-6x-8y=0联立，可得M（$\frac{6+8k}{1+{k}^{2}}$，$\frac{6k+8{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$），
y=-$\frac{1}{k}$（x-6），与x²+y²-6x-8y=0联立，可得N（$\frac{6-8k}{1+{k}^{2}}$，$\frac{8+6k}{1+{k}^{2}}$），
∴MN的中点P（$\frac{6}{1+{k}^{2}}$，$\frac{4+6k+4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$）
设P（x，y），则x²+（y-4）²=36．
∴MN的中点P的轨迹是以（0，4）为圆心，6为半径的圆．

点评 本题考查轨迹方程，考查参数法的运用，属于中档题．