Question

（2012•邯郸一模）在平面直角坐标系中，点P（x，y）为动点，已知点A(

2

，0)，B(-

2

，0)，直线PA与PB的斜率之积为-

1

2

．
（I）求动点P轨迹E的方程；
（ II）过点F（1，0）的直线l交曲线E于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为Q（M、Q不重合），求证：直线MQ过定点．

Answer 1

分析：（I）利用直线PA与PB的斜率之积为-

1

2

，建立等式，化简，即可求得求动点P轨迹E的方程；
（II）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，求得直线方程，令y=0，即可证得结论．

解答：（I）解：由题知：

y

x+ 2

•

y

x- 2

=-

1

2

…（2分）
化简得：

x2

2

+y2=1(y≠0)…（4分）
（II）证明一：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₂，-y₂），l：x=my+1，
代入

x2

2

+y2=1(y≠0)整理得（m²+2）y²+2my-1=0…（6分）
∴y1+y2=

-2m

m2+2

，y1y2=

-1

m2+2

，…（8分）
∵MQ的方程为y-y1=

y1+y2

x1-x2

(x-x1)
令y=0，得x=x1+

y1(x2-x1)

y1+y2

=my1+1+

my1(y2-y1)

y1+y2

=

2my1y2

y1+y2

+1=2…（10分）
∴直线MQ过定点（2，0）．…（12分）
证明二：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₂，-y₂），l：y=k（x-1），
代入

x2

2

+y2=1(y≠0)整理得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0…（6分）
∴x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

，…（8分）
∵MQ的方程为y-y1=

y1+y2

x1-x2

(x-x1)
令y=0，得x=x1+

y1(x2-x1)

y1+y2

=x1+

k(x1-1)(x2-x1)

k(x1+x2-2)

=

2x1x2-(x1+x2)

x1+x2-2

=2…（10分）
∴直线MQ过定点（2，0）．…（12分）

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．