Question

已知正四棱锥P—ABCD的底面边长及侧棱长均为13,M、N分别是PA、BD上的点,且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.

(1)求证:直线MN∥平面PBC;

(2)求直线MN与平面ABCD所成的角.

Answer 1

(1)证明:∵P—ABCD是正四棱锥,

    ∴ABCD是正方形.连结AN并延长交BC于点E,连结PE.

    ∵AD∥BC,

    ∴EN∶AN=BN∶ND.

    又∵BN∶ND=PM∶MA,∴EN∶AN=PM∶MA.

    ∴MN∥PE.

    又∵PE在平面PBC内,∴MN∥平面PBC.

(2)解:由(1)知MN∥PE,

    ∴MN与平面ABCD所成的角就是PE与平面ABCD所成的角.

    设点P在底面ABCD上的射影为O,连结OE,则∠PEO为PE与平面ABCD所成的角.

    由正棱锥的性质知PO==.

    由(1)知,BE∶AD=BN∶ND=5∶8,∴BE=.

    在△PEB中,∠PBE=60°,PB=13,BE=,

    根据余弦定理,得PE=.

在Rt△POE中,PO=,PE=,

    ∴sin∠PEO==.

    故MN与平面ABCD所成的角为arcsin.