Question

（2009•杨浦区一模）（文）已知△OAB，

OA

=

a

，

OB

=

b

，|

a

|=

2

，|

b

|=

3

，

a

•

b

=1，边AB上一点P₁，这里P₁异于A、B．由P₁引边OB的垂线P₁Q₁，Q₁是垂足，再由Q₁引边OA的垂线Q₁R₁，R₁是垂足．又由R₁引边AB的垂线R₁P₂，P₂是垂足．同样的操作连续进行，得到点　P_n、Q_n、R_n（n∈N^*）．设 

APn

=tn(

b

-

a

)(0＜t_n＜1），如图．
（1）．求|

AB

|的值；
（2）．某同学对上述已知条件的研究发现如下结论：

BQ1

=-

2

3

(1-t1)

b

，问该同学这个结论是否正确？并说明理由；
（3）．当P₁、P₂重合时，求△P₁Q₁R₁的面积．

Answer 1

分析：（1）先求|

AB

|的平方的值，然后开根号即可；
（2）该同学的结论正确，利用余弦定理求出cos∠ABO，然后求出|

BP1

|，而|

BQ1

|=|

BP

1 |cos∠ABO，即可知道结论：

BQ1

=-

2

3

(1-t1)

b

是否正确；
（3）根据向量的夹角公式求出cos∠BOA和cos∠BAO，从而求出 |

OR1

|=|

OQ

1|cos∠BOA以及

| AP 2|=| AR1 |cos∠BAO

的值，当P₁、P₂重合时，有t₁=t₂，求出t₁的值，最后根据S△P1Q1R1=S△OAB-S△OR1Q1-S△R1AP1-S△BQ1P1可求出面积．

解答：解：（1）因为△OAB，

OA

=

a

，

OB

=

b

，|

a

|=

2

，|

b

|=

3

，

a

•

b

=1-----（1分）
则 |

AB

|2=|

b

-

a

|2=|

b

|2+|

a

|2-2

a

•

b

=3；所以，|

AB

|=

3

--------------（4分）
（2）该同学的结论正确．-----------------------------------------（5分）
由（1）与已知，得|

AB

|=

3

，|

OB

|=

3

，|

OA

|=

2

由余弦定理  cos∠ABO=

| OB |2+|AB|2-|OA|2

2| OB || AB |

=

3+3-2

2× 3 × 3

=

2

3

-----------------（6分）
又∵|

AP1

|=t1|

b

-

a

|=

3

t1，则|

BP1

|=|

AB

|-|

AP1

|=

3

-

3

t1
则|

BQ1

|=|

BP

1|cos∠ABO=

2 3

3

(1-t1)，所以，

BQ1

=-

2

3

(1-t1)

b

---------（8分）
（3）由已知得   cos∠BOA=

a • b

| a || b |

=

1

2 × 3

=

1

6

-------------（9分）
（或用余弦定理求得，也可）∵|

OB

|=|

AB

|=

3

，∴cos∠BAO=

1

6

；
 |

OR1

|=|

OQ

1|cos∠BOA=(|

OB

|-|

BQ

1|)cos∠BOA=[

3

-

2 3

3

(1-t1)]×

1

6

=

1

3 2

(1+2t1)

∵| AP 2|=| AR1 |cos∠BAO=[| OA |-| OR 1|]cos∠BAO =[ 2 - 1 3 2 (1+2t1)] 1 6 = 1 6 3 (5-2t1)

-------------------------（11分）
所以  t2=

| AP2 |

| b - a |

=

1

18

(5-2t1)=-

1

9

t1+

5

18

----------------------------------------------（12分）
当P₁、P₂重合时，有t₁=t₂，解t1=-

1

9

t1+

5

18

得t1=

1

4

，---------------------------------（13分）
此时

BQ1

=-

1

2

b

，∴BQ1=

1

2

OB=

3

2

，OR1=

1

2 2

=

2

4

，AP1=

3

4

，BP1=

3 3

4

，R1A=

3 2

4

，R1P1=

15

4

，
易求 S△OAB=

5

2

，S△OR1Q1=

5

16

，S△R1AP1=

3 5

32

，