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对负实数a,数4a+3,7a+7,a2+8a+3依次成等差数列
(1)求a的值;
(2)若数列{an}满足an+1=an+1-2an(n∈N+),a1=m,求an的通项公式;
(3)在(2)的条件下,若对任意n∈N+,不等式a2n+1<a2n-1恒成立,求m的取值范围.
分析:(1)因为4a+3,7a+7,a2+8a+3依次成等差数列,所以7a+7-(4a+3)=a2+8a+3-( 7a+7 ),从而可构建一元二次方程a2-2a-8=0,故可求a的值;
(2)an+1=(-2)n+1-2an(n∈N+),两边同除以(-2)n+1得:
an+1
(-2)n+1
-
an
(-2)n
=1
,所以{
an
(-2)n
}是以-
m
2
为首项,d=1为公差的等差数列,故可求an的通项公式;
(3)由于对任意n∈N+,不等式a2n+1<a2n-1恒成立,利用(2)的结论可得m>
12n+4
3
,从而得解.
解答:解:(1)因为4a+3,7a+7,a2+8a+3依次成等差数列,
所以7a+7-(4a+3)=a2+8a+3-( 7a+7 ),
化简成一个一元二次方程a2-2a-8=0∴a=4或者a=-2
∵a<0,∴a=-2;
(2)∵an+1=(-2)n+1-2an(n∈N+),
∴两边同除以(-2)n+1得:
an+1
(-2)n+1
-
an
(-2)n
=1

所以{
an
(-2)n
}是以-
m
2
为首项,d=1为公差的等差数列
an=(-
m
2
+n-1)×(-2)n

(3)∵对任意n∈N+,不等式a2n+1<a2n-1恒成立
m<
12n+4
3

m<
16
3
点评:本题以数列为依托,考查等差数列,考查数列递推式,关键是构建数列,从而转化为等差数列进行解决.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

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(2)若数列{an}满足an+1=an+1-2an(n∈N+),a1=m,求an的通项公式;
(3)在(2)的条件下,若对任意n∈N+,不等式a2n+1<a2n-1恒成立,求m的取值范围.

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