过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点,通过点B平行于抛物线对称轴的直线交抛物线的准线于点D,求证:三点A、O、D共线.
【答案】
分析:建系写方程,写出点A、B、D的坐标,可利用斜率相等,或用向量法证明三点共线.
解答:解:以抛物线的对称轴为x轴,它的顶点为原点,建立直角坐标系,
则可设抛物线的方程为y
2=2px(p>0),
当直线AB的斜率存在时,设AB的斜率为k(k≠0),
由题意直线AB的方程为
,
把
代入抛物线的方程得
,
设点A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),则
,
,
故可得k
OA=
=
=
,而k
OD=
=
=k
OA,故三点A、O、D共线,
当直线无斜率时,A(
,p),B(
,-p),故
,
同样可得k
OA=
=2,而k
OD=
=2=k
OA,仍有三点A、O、D共线,
综上可得三点A、O、D共线.
点评:本题考查三点共线的证明,涉及分类讨论的思想,属基础题.