Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且，n=1，2，3…
（1）求a₁，a₂；
（2）求S_n与S_n-1（n≥2）的关系式，并证明数列{}是等差数列；
（3）求S₁•S₂•S₃…S₂₀₁₁•S₂₀₁₂的值．

Answer 1

（1）解：当n=1时，由已知得，解得
同理，可解得 …（4分）
（2）证明：由题设
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
代入上式，得S_nS_n-1-2S_n+1=0
∴，∴=-1+
∴{}是首项为=-2，公差为-1的等差数列 …（9分）
∴=-2+（n-1）•（-1）=-n-1
∴S_n= …（11分）
（3）解：S₁•S₂•S₃…S₂₀₁₁•S₂₀₁₂=••…••= （13分）
分析：（1）n分别取1，2，代入计算，可求a₁，a₂；
（2）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，代入条件，即可证得数列{}是等差数列；
（3）根据（2）的结论，利用点叠乘法，即可得到结论．
点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的证明，考查叠乘法，属于中档题．