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    已知实数a1，a2，a3不全为零，
    （i）则
    a1a2+2a2a3
    a
    2
    1
    +
    a
    2
    2
    +
    a
    2
    3
    的最大值为
     
    ；
    （ii）设正数x，y满足x+y=2，令
    xa1a2+ya2a3
    a
    2
    1
    +
    a
    2
    2
    +
    a
    2
    3
    的最大值为M，则M的最小值为
     
    ．
    分析：观察分式的分子和分母的代数式的不同，进行拆分a22项，构造均值不等式求最值．
    解答：解：由题意知：
    （1）
    a1a2+2a2a3
    a
    2
    1
    +
    a
    2
    2
    +
    a
    2
    3
    =
    a1a2+2a2a3
     
    a
    2
    1
    +
    1
    5
    a
    2
    2
     +
    4
    5
    a
    2
    2
    +
    a
    2
    3

    ≤
    a1a2+2a2a3
    2
    a
    2
    1
    a
    2
    2
    5
    +2
    4
    a
    2
    2
    a
    2
    3
    5
     
    =
    a1a2+2a2a3
    2
    		5
     ( a1a2 +2a2a3)

    =
    		5
    2

    （2）
    xa1a2+ya2a3
    a
    2
    1
    +
    a
    2
    2
    +
    a
    2
    3
    =
    xa1a2+ya2a3
    a
    2
    1
    +
    x2
    x2+y2
    a
    2
    2
    +
    y2
    x2+y2
    a
    2
    2
    +
    a
    2
    3

    ≤
    xa1a2+ya2a3
    2
    xa1a2
    		x2+y2
     +2
    ya2a3
    		x2+y2
    =
    		x2+y2
    2

    ∴M=
    		x2+y2
    2

    即M≥
    		2
    2
    (
    x+y
    2
    )    =
    		2
    2

    ∴M的最小值为 
    		2
    2
    ． 
    故（1）
    		5
    2
      （2）
    		2
    2
    点评：本题对均值不等式的灵活熟练运用的程度要求比较高，属中档偏上题型．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•南通三模）已知实数a1，a2，a3，a4满足a1+a2+a3=0，a1a42+a2a4-a2=0，且a1＞a2＞a3，则a4的取值范围是
    (
    -1-
    		5
    2
    ，
    -1+
    		5
    2
    )
    (
    -1-
    		5
    2
    ，
    -1+
    		5
    2
    )
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•眉山二模）设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，我们称S=a1c1+a2c2+a3c3+…+ancn为两组实数的乱序和，S1=a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1为反序和，S2=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn 为顺序和．根据排序原理有：S1≤S≤S2即：反序和≤乱序和≤顺序和．给出下列命题：
    ①数组（2，4，6，8）和（1，3，5，7）的反序和为60；
    ②若A=
    x
    2
    1
    +
    x
    2
    2
    +…+
    x
    2
    n
    ，B=x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1其中x1，x2，…xn都是正数，则A≤B；
    ③设正实数a1，a2，a3的任一排列为c1，c2，c3则
    a1
    c1
    +
    a2
    c2
    +
    a3
    c3
    的最小值为3；
    ④已知正实数x1，x2，…，xn满足x1+x2+…+xn=P，P为定值，则F=
    x
    2
    1
    x2
    +
    x
    2
    2
    x3
    +…+
    x
    2
    n-1
    xn
    +
    x
    2
    n
    x1
    的最小值为
    P
    2
    ．
    其中所有正确命题的序号为
    ①③
    ①③
    ．（把所有正确命题的序号都填上）

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    科目：高中数学 来源：2012-2013学年江苏省南通市高三第三次调研测试数学试卷（解析版） 题型：填空题

    已知实数a1，a2，a3，a4满足a1a2a3，a1a42a2a4a2，且a1a2a3，则a4的取值范围是     ．

     

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    科目：高中数学 来源：2012-2013学年江苏省五市高三第三次调研测试数学试卷（解析版） 题型：填空题

    已知实数a1，a2，a3，a4满足a1a2a3，a1a42a2a4a2，且a1a2a3，则a4的取值范围是     ．

     

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