Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=

π

2

，且AB=AA₁=2，D、E、F分别为B₁A、C₁C、BC的中点．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求证：B₁F⊥平面AEF；
（3）求三棱锥E-AB₁F的体积．

Answer 1

分析：（1）根据直线与平面平行的判定定理可知，只要在平面ABC里面找到一条直线与DE平行即可，过DE构造平行四边形，使其与平面ABC相交，则可得DE与交线平行，所以进一步可得DE∥平面ABC；
（2）证明直线与平面垂直，关键要找到两条相交直线与之都垂直．有时候题目中没有现成的直线与直线垂直，需要我们先通过直线与平面垂直去转化一下，如欲证B₁F⊥AF，可以先证明AF⊥平面B₁BCC₁；利用勾股定理，易证明B₁F⊥FE
（3）利用等体积转化，可得结论．

解答：（1）证明：设G是AB的中点，连接DG，CG，则DG平行且等于EC，…（2分）
所以四边形DECG是平行四边形，所以DE∥GC，
从而DE∥平面ABC．                                       …（4分）
（2）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，F为BC的中点，∴BC⊥AF，
又∵B₁B⊥平面ABC，B₁B?平面B₁C，
∴平面ABC⊥平面B₁C，
∵平面ABC∩平面B₁C=BC，AF⊥BC
∴AF⊥平面B₁C，
∴B₁F⊥AF…（6分）
∵AB=AA₁=2，∴B1F=

6

，EF=

3

，B1E=3，
∴B1F2+EF2=B1E2，∴B₁F⊥FE，
∵AF∩FE=F，∴B₁F⊥平面AEF…（8分）
（3）解：由题意AF=

2

，S△AEF=

6

2

，…（10分）
∴VE-AB1F=VB1-AEF=

1

3

S△AEF•B1F=1…（12分）

点评：本题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．