【题目】是定义在R上的函数,对
∈R都有
,且当
>0时,
<0,且
=1.
(1)求的值;
(2)求证:为奇函数;
(3)求在[-2,4]上的最值.
【答案】(1) f(0)=0,f(-2)=2; (2)证明见解析;(3)f(x)max=2, f(x)min=-4.
【解析】
试题本题为抽象函数问题,解决抽象函数的基本方法有两种:一是赋值法,二是“打回原型”,本题第一步采用赋值法,先给x,y赋值0,求出f(0),再给x,y赋值-1,求出f(--2);判断函数奇偶性,就是寻求f(-x)与f(x)的关系,给y赋值-x,得出f(-x)=-f(x),判断出函数的奇偶性;再根据函数的奇偶性,得出函数图像的对称性,再利用赋值法判断函数的单调性,根据函数的奇偶性和单调性求出函数的最值.
试题解析:
(1)f(x)的定义域为R,
令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),
∴f(0)=0,
∵f(-1)=1,
∴f(-2)=f(-1)+f(-1)=2,
(2)令y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x),
∴f(-x)+f(x)=f(0)=0,
∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
(3)设x2>x1,
f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)
∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0,
∴f(x2)-f(x1)<0,
即f(x2)<f(x1),
∴f(x)在R上为减函数.
∴f(2)=-f(-2)=-2,
∴f(4)=f(2)+f(2)=-4,
∵f(x)在[-2,4]上为减函数,
∴f(x)max=f(-2)=2,
f(x)min=f(4)=-4.
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【题目】已知各项都是正数的数列{an}的前n项和为Sn , Sn=an2+ an , n∈N*
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}满足:b1=1,bn﹣bn﹣1=2an(n≥2),求数列{ }的前n项和Tn
(3)若Tn≤λ(n+4)对任意n∈N*恒成立,求λ的取值范围.
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【题目】设函数 的定义域是R,对于任意实数
,恒有
,且当
时,
。
(1)求证: ,且当
时,有
;
(2)判断 在R上的单调性;
(3)设集合A=,B=
,若A∩B=
,求
的取值范围。
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【题目】将函数f(x)= sin2x﹣
cos2x+1的图象向左平移
个单位,再向下平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象,则下列关予函数y=g(x)的说法错误的是( )
A.函数y=g(x)的最小正周期为π
B.函数y=g(x)的图象的一条对称轴为直线x=
C. g(x)dx=
D.函数y=g(x)在区间[ ,
]上单调递减
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【题目】有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数.
(1)排成前后两排,前排3人,后排4人;(2)全体站成一排,甲不站排头也不站排尾;
(3)全体站成一排,女生必须站在一起;(4)全体站成一排,男生互不相邻.(用数字作答)
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【题目】已知函数f(x)=9x﹣2a3x+3:
(1)若a=1,x∈[0,1]时,求f(x)的值域;
(2)当x∈[﹣1,1]时,求f(x)的最小值h(a);
(3)是否存在实数m、n,同时满足下列条件:①n>m>3;②当h(a)的定义域为[m,n]时,其值域为[m2,n2],若存在,求出m、n的值,若不存在,请说明理由.
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【题目】已知f(x)=﹣3x2+a(6﹣a)x+6.
(Ⅰ)解关于a的不等式f(1)>0;
(Ⅱ)若不等式f(x)>b的解集为(﹣1,3),求实数a,b的值.
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